Derivative function：
Enter an original function (that is, the function to be derived), then set the variable to be derived and the order of the derivative, and click the "Next" button to obtain the derivative function of the corresponding order of the function.
Note that the input function supports mathematical functions and other constants.
Enter an original function (that is, the function to be derived), then set the variable to be derived and the order of the derivative, and click the "Next" button to obtain the derivative function of the corresponding order of the function.
Note that the input function supports mathematical functions and other constants.
Current location：Derivative function > Derivative function calculation history > Answer
There are 2 questions in this calculation: for each question, the 4 derivative of x is calculated.
Note that variables are case sensitive.
\[ \begin{equation}\begin{split}[1/2]Find\ the\ 4th\ derivative\ of\ function\ e^{e^{x} + e^{-x}}\ with\ respect\ to\ x：\\\end{split}\end{equation} \]\[ \begin{equation}\begin{split}\\Solution:&\\ &\color{blue}{The\ first\ derivative\ function：}\\&\frac{d\left( e^{e^{x} + e^{-x}}\right)}{dx}\\=&e^{e^{x} + e^{-x}}(e^{x} + e^{-x}*-1)\\=&e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}} - e^{-x}e^{e^{x} + e^{-x}}\\\\ &\color{blue}{The\ second\ derivative\ of\ function:} \\&\frac{d\left( e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}} - e^{-x}e^{e^{x} + e^{-x}}\right)}{dx}\\=&e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}} + e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}}(e^{x} + e^{-x}*-1) - e^{-x}*-e^{e^{x} + e^{-x}} - e^{-x}e^{e^{x} + e^{-x}}(e^{x} + e^{-x}*-1)\\=& - e^{x}e^{-x}e^{e^{x} + e^{-x}} - e^{-x}e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}} + e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}} + e^{-x}e^{e^{x} + e^{-x}} + e^{{x}*{2}}e^{e^{x} + e^{-x}} + e^{{-x}*{2}}e^{e^{x} + e^{-x}}\\\\ &\color{blue}{The\ third\ derivative\ of\ function:} \\&\frac{d\left( - e^{x}e^{-x}e^{e^{x} + e^{-x}} - e^{-x}e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}} + e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}} + e^{-x}e^{e^{x} + e^{-x}} + e^{{x}*{2}}e^{e^{x} + e^{-x}} + e^{{-x}*{2}}e^{e^{x} + e^{-x}}\right)}{dx}\\=& - e^{x}e^{-x}e^{e^{x} + e^{-x}} - e^{x}e^{-x}*-e^{e^{x} + e^{-x}} - e^{x}e^{-x}e^{e^{x} + e^{-x}}(e^{x} + e^{-x}*-1) - e^{-x}*-e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}} - e^{-x}e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}} - e^{-x}e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}}(e^{x} + e^{-x}*-1) + e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}} + e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}}(e^{x} + e^{-x}*-1) + e^{-x}*-e^{e^{x} + e^{-x}} + e^{-x}e^{e^{x} + e^{-x}}(e^{x} + e^{-x}*-1) + 2e^{x}e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}} + e^{{x}*{2}}e^{e^{x} + e^{-x}}(e^{x} + e^{-x}*-1) + 2e^{-x}e^{-x}*-e^{e^{x} + e^{-x}} + e^{{-x}*{2}}e^{e^{x} + e^{-x}}(e^{x} + e^{-x}*-1)\\=& - 3e^{x}e^{-x}e^{e^{x} + e^{-x}} + 3e^{-x}e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}} - e^{e^{x} + e^{-x}}e^{{x}*{2}}e^{-x} + e^{e^{x} + e^{-x}}e^{x}e^{{-x}*{2}} - e^{e^{x} + e^{-x}}e^{-x}e^{{x}*{2}} + e^{e^{x} + e^{-x}}e^{{-x}*{2}}e^{x} - e^{{x}*{2}}e^{-x}e^{e^{x} + e^{-x}} + e^{{-x}*{2}}e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}} - e^{-x}e^{e^{x} + e^{-x}} - 3e^{{-x}*{2}}e^{e^{x} + e^{-x}} + e^{{x}*{3}}e^{e^{x} + e^{-x}} + e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}} + 3e^{{x}*{2}}e^{e^{x} + e^{-x}} - e^{{-x}*{3}}e^{e^{x} + e^{-x}}\\\\ &\color{blue}{The\ 4th\ derivative\ of\ function:} \\&\frac{d\left( - 3e^{x}e^{-x}e^{e^{x} + e^{-x}} + 3e^{-x}e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}} - e^{e^{x} + e^{-x}}e^{{x}*{2}}e^{-x} + e^{e^{x} + e^{-x}}e^{x}e^{{-x}*{2}} - e^{e^{x} + e^{-x}}e^{-x}e^{{x}*{2}} + e^{e^{x} + e^{-x}}e^{{-x}*{2}}e^{x} - e^{{x}*{2}}e^{-x}e^{e^{x} + e^{-x}} + e^{{-x}*{2}}e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}} - e^{-x}e^{e^{x} + e^{-x}} - 3e^{{-x}*{2}}e^{e^{x} + e^{-x}} + e^{{x}*{3}}e^{e^{x} + e^{-x}} + e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}} + 3e^{{x}*{2}}e^{e^{x} + e^{-x}} - e^{{-x}*{3}}e^{e^{x} + e^{-x}}\right)}{dx}\\=& - 3e^{x}e^{-x}e^{e^{x} + e^{-x}} - 3e^{x}e^{-x}*-e^{e^{x} + e^{-x}} - 3e^{x}e^{-x}e^{e^{x} + e^{-x}}(e^{x} + e^{-x}*-1) + 3e^{-x}*-e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}} + 3e^{-x}e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}} + 3e^{-x}e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}}(e^{x} + e^{-x}*-1) - e^{e^{x} + e^{-x}}(e^{x} + e^{-x}*-1)e^{{x}*{2}}e^{-x} - e^{e^{x} + e^{-x}}*2e^{x}e^{x}e^{-x} - e^{e^{x} + e^{-x}}e^{{x}*{2}}e^{-x}*-1 + e^{e^{x} + e^{-x}}(e^{x} + e^{-x}*-1)e^{x}e^{{-x}*{2}} + e^{e^{x} + e^{-x}}e^{x}e^{{-x}*{2}} + e^{e^{x} + e^{-x}}e^{x}*2e^{-x}e^{-x}*-1 - e^{e^{x} + e^{-x}}(e^{x} + e^{-x}*-1)e^{-x}e^{{x}*{2}} - e^{e^{x} + e^{-x}}e^{-x}*-e^{{x}*{2}} - e^{e^{x} + e^{-x}}e^{-x}*2e^{x}e^{x} + e^{e^{x} + e^{-x}}(e^{x} + e^{-x}*-1)e^{{-x}*{2}}e^{x} + e^{e^{x} + e^{-x}}*2e^{-x}e^{-x}*-e^{x} + e^{e^{x} + e^{-x}}e^{{-x}*{2}}e^{x} - 2e^{x}e^{x}e^{-x}e^{e^{x} + e^{-x}} - e^{{x}*{2}}e^{-x}*-e^{e^{x} + e^{-x}} - e^{{x}*{2}}e^{-x}e^{e^{x} + e^{-x}}(e^{x} + e^{-x}*-1) + 2e^{-x}e^{-x}*-e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}} + e^{{-x}*{2}}e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}} + e^{{-x}*{2}}e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}}(e^{x} + e^{-x}*-1) - e^{-x}*-e^{e^{x} + e^{-x}} - e^{-x}e^{e^{x} + e^{-x}}(e^{x} + e^{-x}*-1) - 3*2e^{-x}e^{-x}*-e^{e^{x} + e^{-x}} - 3e^{{-x}*{2}}e^{e^{x} + e^{-x}}(e^{x} + e^{-x}*-1) + 3e^{{x}*{2}}e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}} + e^{{x}*{3}}e^{e^{x} + e^{-x}}(e^{x} + e^{-x}*-1) + e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}} + e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}}(e^{x} + e^{-x}*-1) + 3*2e^{x}e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}} + 3e^{{x}*{2}}e^{e^{x} + e^{-x}}(e^{x} + e^{-x}*-1) - 3e^{{-x}*{2}}e^{-x}*-e^{e^{x} + e^{-x}} - e^{{-x}*{3}}e^{e^{x} + e^{-x}}(e^{x} + e^{-x}*-1)\\=& - e^{x}e^{-x}e^{e^{x} + e^{-x}} - e^{-x}e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}} - 5e^{e^{x} + e^{-x}}e^{{x}*{2}}e^{-x} + 3e^{e^{x} + e^{-x}}e^{x}e^{{-x}*{2}} + 3e^{e^{x} + e^{-x}}e^{-x}e^{{x}*{2}} - 5e^{e^{x} + e^{-x}}e^{{-x}*{2}}e^{x} - 2e^{{x}*{3}}e^{e^{x} + e^{-x}}e^{-x} + 2e^{{-x}*{2}}e^{e^{x} + e^{-x}}e^{{x}*{2}} - 2e^{{x}*{2}}e^{e^{x} + e^{-x}}e^{-x} - 4e^{{x}*{2}}e^{-x}e^{e^{x} + e^{-x}} + 2e^{{x}*{2}}e^{e^{x} + e^{-x}}e^{{-x}*{2}} - 2e^{{-x}*{3}}e^{e^{x} + e^{-x}}e^{x} + e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}}e^{{-x}*{2}} + e^{-x}e^{e^{x} + e^{-x}}e^{{x}*{2}} - 2e^{{-x}*{2}}e^{e^{x} + e^{-x}}e^{x} - 4e^{{-x}*{2}}e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}} + e^{-x}e^{{x}*{2}}e^{e^{x} + e^{-x}} - e^{e^{x} + e^{-x}}e^{{x}*{3}}e^{-x} + e^{e^{x} + e^{-x}}e^{{x}*{2}}e^{{-x}*{2}} + e^{x}e^{{-x}*{2}}e^{e^{x} + e^{-x}} + e^{e^{x} + e^{-x}}e^{{-x}*{2}}e^{{x}*{2}} - e^{e^{x} + e^{-x}}e^{{-x}*{3}}e^{x} - e^{{x}*{3}}e^{-x}e^{e^{x} + e^{-x}} - e^{{-x}*{3}}e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}} + 6e^{{-x}*{3}}e^{e^{x} + e^{-x}} + 6e^{{x}*{3}}e^{e^{x} + e^{-x}} + e^{{x}*{4}}e^{e^{x} + e^{-x}} + e^{-x}e^{e^{x} + e^{-x}} + e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}} + 7e^{{x}*{2}}e^{e^{x} + e^{-x}} + 7e^{{-x}*{2}}e^{e^{x} + e^{-x}} + e^{{-x}*{4}}e^{e^{x} + e^{-x}}\\ \end{split}\end{equation} \]
\[ \begin{equation}\begin{split}[2/2]Find\ the\ 4th\ derivative\ of\ function\ e^{e^{x} - e^{-x}}\ with\ respect\ to\ x：\\\end{split}\end{equation} \]\[ \begin{equation}\begin{split}\\Solution:&\\ &\color{blue}{The\ first\ derivative\ function：}\\&\frac{d\left( e^{e^{x} - e^{-x}}\right)}{dx}\\=&e^{e^{x} - e^{-x}}(e^{x} - e^{-x}*-1)\\=&e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{-x}e^{e^{x} - e^{-x}}\\\\ &\color{blue}{The\ second\ derivative\ of\ function:} \\&\frac{d\left( e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{-x}e^{e^{x} - e^{-x}}\right)}{dx}\\=&e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}}(e^{x} - e^{-x}*-1) + e^{-x}*-e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{-x}e^{e^{x} - e^{-x}}(e^{x} - e^{-x}*-1)\\=&e^{x}e^{-x}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{-x}e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}} - e^{-x}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{{x}*{2}}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{{-x}*{2}}e^{e^{x} - e^{-x}}\\\\ &\color{blue}{The\ third\ derivative\ of\ function:} \\&\frac{d\left( e^{x}e^{-x}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{-x}e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}} - e^{-x}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{{x}*{2}}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{{-x}*{2}}e^{e^{x} - e^{-x}}\right)}{dx}\\=&e^{x}e^{-x}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{x}e^{-x}*-e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{x}e^{-x}e^{e^{x} - e^{-x}}(e^{x} - e^{-x}*-1) + e^{-x}*-e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{-x}e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{-x}e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}}(e^{x} - e^{-x}*-1) + e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}}(e^{x} - e^{-x}*-1) - e^{-x}*-e^{e^{x} - e^{-x}} - e^{-x}e^{e^{x} - e^{-x}}(e^{x} - e^{-x}*-1) + 2e^{x}e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{{x}*{2}}e^{e^{x} - e^{-x}}(e^{x} - e^{-x}*-1) + 2e^{-x}e^{-x}*-e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{{-x}*{2}}e^{e^{x} - e^{-x}}(e^{x} - e^{-x}*-1)\\=&3e^{x}e^{-x}e^{e^{x} - e^{-x}} - 3e^{-x}e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{e^{x} - e^{-x}}e^{{x}*{2}}e^{-x} + e^{e^{x} - e^{-x}}e^{x}e^{{-x}*{2}} + e^{e^{x} - e^{-x}}e^{-x}e^{{x}*{2}} + e^{e^{x} - e^{-x}}e^{{-x}*{2}}e^{x} + e^{{x}*{2}}e^{-x}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{{-x}*{2}}e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{-x}e^{e^{x} - e^{-x}} - 3e^{{-x}*{2}}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{{x}*{3}}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}} + 3e^{{x}*{2}}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{{-x}*{3}}e^{e^{x} - e^{-x}}\\\\ &\color{blue}{The\ 4th\ derivative\ of\ function:} \\&\frac{d\left( 3e^{x}e^{-x}e^{e^{x} - e^{-x}} - 3e^{-x}e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{e^{x} - e^{-x}}e^{{x}*{2}}e^{-x} + e^{e^{x} - e^{-x}}e^{x}e^{{-x}*{2}} + e^{e^{x} - e^{-x}}e^{-x}e^{{x}*{2}} + e^{e^{x} - e^{-x}}e^{{-x}*{2}}e^{x} + e^{{x}*{2}}e^{-x}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{{-x}*{2}}e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{-x}e^{e^{x} - e^{-x}} - 3e^{{-x}*{2}}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{{x}*{3}}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}} + 3e^{{x}*{2}}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{{-x}*{3}}e^{e^{x} - e^{-x}}\right)}{dx}\\=&3e^{x}e^{-x}e^{e^{x} - e^{-x}} + 3e^{x}e^{-x}*-e^{e^{x} - e^{-x}} + 3e^{x}e^{-x}e^{e^{x} - e^{-x}}(e^{x} - e^{-x}*-1) - 3e^{-x}*-e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}} - 3e^{-x}e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}} - 3e^{-x}e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}}(e^{x} - e^{-x}*-1) + e^{e^{x} - e^{-x}}(e^{x} - e^{-x}*-1)e^{{x}*{2}}e^{-x} + e^{e^{x} - e^{-x}}*2e^{x}e^{x}e^{-x} + e^{e^{x} - e^{-x}}e^{{x}*{2}}e^{-x}*-1 + e^{e^{x} - e^{-x}}(e^{x} - e^{-x}*-1)e^{x}e^{{-x}*{2}} + e^{e^{x} - e^{-x}}e^{x}e^{{-x}*{2}} + e^{e^{x} - e^{-x}}e^{x}*2e^{-x}e^{-x}*-1 + e^{e^{x} - e^{-x}}(e^{x} - e^{-x}*-1)e^{-x}e^{{x}*{2}} + e^{e^{x} - e^{-x}}e^{-x}*-e^{{x}*{2}} + e^{e^{x} - e^{-x}}e^{-x}*2e^{x}e^{x} + e^{e^{x} - e^{-x}}(e^{x} - e^{-x}*-1)e^{{-x}*{2}}e^{x} + e^{e^{x} - e^{-x}}*2e^{-x}e^{-x}*-e^{x} + e^{e^{x} - e^{-x}}e^{{-x}*{2}}e^{x} + 2e^{x}e^{x}e^{-x}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{{x}*{2}}e^{-x}*-e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{{x}*{2}}e^{-x}e^{e^{x} - e^{-x}}(e^{x} - e^{-x}*-1) + 2e^{-x}e^{-x}*-e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{{-x}*{2}}e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{{-x}*{2}}e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}}(e^{x} - e^{-x}*-1) + e^{-x}*-e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{-x}e^{e^{x} - e^{-x}}(e^{x} - e^{-x}*-1) - 3*2e^{-x}e^{-x}*-e^{e^{x} - e^{-x}} - 3e^{{-x}*{2}}e^{e^{x} - e^{-x}}(e^{x} - e^{-x}*-1) + 3e^{{x}*{2}}e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{{x}*{3}}e^{e^{x} - e^{-x}}(e^{x} - e^{-x}*-1) + e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}}(e^{x} - e^{-x}*-1) + 3*2e^{x}e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}} + 3e^{{x}*{2}}e^{e^{x} - e^{-x}}(e^{x} - e^{-x}*-1) + 3e^{{-x}*{2}}e^{-x}*-e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{{-x}*{3}}e^{e^{x} - e^{-x}}(e^{x} - e^{-x}*-1)\\=&e^{x}e^{-x}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{-x}e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}} + 5e^{e^{x} - e^{-x}}e^{{x}*{2}}e^{-x} + 3e^{e^{x} - e^{-x}}e^{x}e^{{-x}*{2}} - 3e^{e^{x} - e^{-x}}e^{-x}e^{{x}*{2}} - 5e^{e^{x} - e^{-x}}e^{{-x}*{2}}e^{x} + 2e^{{x}*{3}}e^{e^{x} - e^{-x}}e^{-x} + 2e^{{-x}*{2}}e^{e^{x} - e^{-x}}e^{{x}*{2}} + 2e^{{x}*{2}}e^{e^{x} - e^{-x}}e^{-x} + 4e^{{x}*{2}}e^{-x}e^{e^{x} - e^{-x}} + 2e^{{x}*{2}}e^{e^{x} - e^{-x}}e^{{-x}*{2}} + 2e^{{-x}*{3}}e^{e^{x} - e^{-x}}e^{x} + e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}}e^{{-x}*{2}} - e^{-x}e^{e^{x} - e^{-x}}e^{{x}*{2}} - 2e^{{-x}*{2}}e^{e^{x} - e^{-x}}e^{x} - 4e^{{-x}*{2}}e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}} - e^{-x}e^{{x}*{2}}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{e^{x} - e^{-x}}e^{{x}*{3}}e^{-x} + e^{e^{x} - e^{-x}}e^{{x}*{2}}e^{{-x}*{2}} + e^{x}e^{{-x}*{2}}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{e^{x} - e^{-x}}e^{{-x}*{2}}e^{{x}*{2}} + e^{e^{x} - e^{-x}}e^{{-x}*{3}}e^{x} + e^{{x}*{3}}e^{-x}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{{-x}*{3}}e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}} - 6e^{{-x}*{3}}e^{e^{x} - e^{-x}} + 6e^{{x}*{3}}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{{x}*{4}}e^{e^{x} - e^{-x}} - e^{-x}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}} + 7e^{{x}*{2}}e^{e^{x} - e^{-x}} + 7e^{{-x}*{2}}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{{-x}*{4}}e^{e^{x} - e^{-x}}\\ \end{split}\end{equation} \]
Note that variables are case sensitive.
\[ \begin{equation}\begin{split}[1/2]Find\ the\ 4th\ derivative\ of\ function\ e^{e^{x} + e^{-x}}\ with\ respect\ to\ x：\\\end{split}\end{equation} \]\[ \begin{equation}\begin{split}\\Solution:&\\ &\color{blue}{The\ first\ derivative\ function：}\\&\frac{d\left( e^{e^{x} + e^{-x}}\right)}{dx}\\=&e^{e^{x} + e^{-x}}(e^{x} + e^{-x}*-1)\\=&e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}} - e^{-x}e^{e^{x} + e^{-x}}\\\\ &\color{blue}{The\ second\ derivative\ of\ function:} \\&\frac{d\left( e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}} - e^{-x}e^{e^{x} + e^{-x}}\right)}{dx}\\=&e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}} + e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}}(e^{x} + e^{-x}*-1) - e^{-x}*-e^{e^{x} + e^{-x}} - e^{-x}e^{e^{x} + e^{-x}}(e^{x} + e^{-x}*-1)\\=& - e^{x}e^{-x}e^{e^{x} + e^{-x}} - e^{-x}e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}} + e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}} + e^{-x}e^{e^{x} + e^{-x}} + e^{{x}*{2}}e^{e^{x} + e^{-x}} + e^{{-x}*{2}}e^{e^{x} + e^{-x}}\\\\ &\color{blue}{The\ third\ derivative\ of\ function:} \\&\frac{d\left( - e^{x}e^{-x}e^{e^{x} + e^{-x}} - e^{-x}e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}} + e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}} + e^{-x}e^{e^{x} + e^{-x}} + e^{{x}*{2}}e^{e^{x} + e^{-x}} + e^{{-x}*{2}}e^{e^{x} + e^{-x}}\right)}{dx}\\=& - e^{x}e^{-x}e^{e^{x} + e^{-x}} - e^{x}e^{-x}*-e^{e^{x} + e^{-x}} - e^{x}e^{-x}e^{e^{x} + e^{-x}}(e^{x} + e^{-x}*-1) - e^{-x}*-e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}} - e^{-x}e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}} - e^{-x}e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}}(e^{x} + e^{-x}*-1) + e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}} + e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}}(e^{x} + e^{-x}*-1) + e^{-x}*-e^{e^{x} + e^{-x}} + e^{-x}e^{e^{x} + e^{-x}}(e^{x} + e^{-x}*-1) + 2e^{x}e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}} + e^{{x}*{2}}e^{e^{x} + e^{-x}}(e^{x} + e^{-x}*-1) + 2e^{-x}e^{-x}*-e^{e^{x} + e^{-x}} + e^{{-x}*{2}}e^{e^{x} + e^{-x}}(e^{x} + e^{-x}*-1)\\=& - 3e^{x}e^{-x}e^{e^{x} + e^{-x}} + 3e^{-x}e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}} - e^{e^{x} + e^{-x}}e^{{x}*{2}}e^{-x} + e^{e^{x} + e^{-x}}e^{x}e^{{-x}*{2}} - e^{e^{x} + e^{-x}}e^{-x}e^{{x}*{2}} + e^{e^{x} + e^{-x}}e^{{-x}*{2}}e^{x} - e^{{x}*{2}}e^{-x}e^{e^{x} + e^{-x}} + e^{{-x}*{2}}e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}} - e^{-x}e^{e^{x} + e^{-x}} - 3e^{{-x}*{2}}e^{e^{x} + e^{-x}} + e^{{x}*{3}}e^{e^{x} + e^{-x}} + e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}} + 3e^{{x}*{2}}e^{e^{x} + e^{-x}} - e^{{-x}*{3}}e^{e^{x} + e^{-x}}\\\\ &\color{blue}{The\ 4th\ derivative\ of\ function:} \\&\frac{d\left( - 3e^{x}e^{-x}e^{e^{x} + e^{-x}} + 3e^{-x}e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}} - e^{e^{x} + e^{-x}}e^{{x}*{2}}e^{-x} + e^{e^{x} + e^{-x}}e^{x}e^{{-x}*{2}} - e^{e^{x} + e^{-x}}e^{-x}e^{{x}*{2}} + e^{e^{x} + e^{-x}}e^{{-x}*{2}}e^{x} - e^{{x}*{2}}e^{-x}e^{e^{x} + e^{-x}} + e^{{-x}*{2}}e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}} - e^{-x}e^{e^{x} + e^{-x}} - 3e^{{-x}*{2}}e^{e^{x} + e^{-x}} + e^{{x}*{3}}e^{e^{x} + e^{-x}} + e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}} + 3e^{{x}*{2}}e^{e^{x} + e^{-x}} - e^{{-x}*{3}}e^{e^{x} + e^{-x}}\right)}{dx}\\=& - 3e^{x}e^{-x}e^{e^{x} + e^{-x}} - 3e^{x}e^{-x}*-e^{e^{x} + e^{-x}} - 3e^{x}e^{-x}e^{e^{x} + e^{-x}}(e^{x} + e^{-x}*-1) + 3e^{-x}*-e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}} + 3e^{-x}e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}} + 3e^{-x}e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}}(e^{x} + e^{-x}*-1) - e^{e^{x} + e^{-x}}(e^{x} + e^{-x}*-1)e^{{x}*{2}}e^{-x} - e^{e^{x} + e^{-x}}*2e^{x}e^{x}e^{-x} - e^{e^{x} + e^{-x}}e^{{x}*{2}}e^{-x}*-1 + e^{e^{x} + e^{-x}}(e^{x} + e^{-x}*-1)e^{x}e^{{-x}*{2}} + e^{e^{x} + e^{-x}}e^{x}e^{{-x}*{2}} + e^{e^{x} + e^{-x}}e^{x}*2e^{-x}e^{-x}*-1 - e^{e^{x} + e^{-x}}(e^{x} + e^{-x}*-1)e^{-x}e^{{x}*{2}} - e^{e^{x} + e^{-x}}e^{-x}*-e^{{x}*{2}} - e^{e^{x} + e^{-x}}e^{-x}*2e^{x}e^{x} + e^{e^{x} + e^{-x}}(e^{x} + e^{-x}*-1)e^{{-x}*{2}}e^{x} + e^{e^{x} + e^{-x}}*2e^{-x}e^{-x}*-e^{x} + e^{e^{x} + e^{-x}}e^{{-x}*{2}}e^{x} - 2e^{x}e^{x}e^{-x}e^{e^{x} + e^{-x}} - e^{{x}*{2}}e^{-x}*-e^{e^{x} + e^{-x}} - e^{{x}*{2}}e^{-x}e^{e^{x} + e^{-x}}(e^{x} + e^{-x}*-1) + 2e^{-x}e^{-x}*-e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}} + e^{{-x}*{2}}e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}} + e^{{-x}*{2}}e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}}(e^{x} + e^{-x}*-1) - e^{-x}*-e^{e^{x} + e^{-x}} - e^{-x}e^{e^{x} + e^{-x}}(e^{x} + e^{-x}*-1) - 3*2e^{-x}e^{-x}*-e^{e^{x} + e^{-x}} - 3e^{{-x}*{2}}e^{e^{x} + e^{-x}}(e^{x} + e^{-x}*-1) + 3e^{{x}*{2}}e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}} + e^{{x}*{3}}e^{e^{x} + e^{-x}}(e^{x} + e^{-x}*-1) + e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}} + e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}}(e^{x} + e^{-x}*-1) + 3*2e^{x}e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}} + 3e^{{x}*{2}}e^{e^{x} + e^{-x}}(e^{x} + e^{-x}*-1) - 3e^{{-x}*{2}}e^{-x}*-e^{e^{x} + e^{-x}} - e^{{-x}*{3}}e^{e^{x} + e^{-x}}(e^{x} + e^{-x}*-1)\\=& - e^{x}e^{-x}e^{e^{x} + e^{-x}} - e^{-x}e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}} - 5e^{e^{x} + e^{-x}}e^{{x}*{2}}e^{-x} + 3e^{e^{x} + e^{-x}}e^{x}e^{{-x}*{2}} + 3e^{e^{x} + e^{-x}}e^{-x}e^{{x}*{2}} - 5e^{e^{x} + e^{-x}}e^{{-x}*{2}}e^{x} - 2e^{{x}*{3}}e^{e^{x} + e^{-x}}e^{-x} + 2e^{{-x}*{2}}e^{e^{x} + e^{-x}}e^{{x}*{2}} - 2e^{{x}*{2}}e^{e^{x} + e^{-x}}e^{-x} - 4e^{{x}*{2}}e^{-x}e^{e^{x} + e^{-x}} + 2e^{{x}*{2}}e^{e^{x} + e^{-x}}e^{{-x}*{2}} - 2e^{{-x}*{3}}e^{e^{x} + e^{-x}}e^{x} + e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}}e^{{-x}*{2}} + e^{-x}e^{e^{x} + e^{-x}}e^{{x}*{2}} - 2e^{{-x}*{2}}e^{e^{x} + e^{-x}}e^{x} - 4e^{{-x}*{2}}e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}} + e^{-x}e^{{x}*{2}}e^{e^{x} + e^{-x}} - e^{e^{x} + e^{-x}}e^{{x}*{3}}e^{-x} + e^{e^{x} + e^{-x}}e^{{x}*{2}}e^{{-x}*{2}} + e^{x}e^{{-x}*{2}}e^{e^{x} + e^{-x}} + e^{e^{x} + e^{-x}}e^{{-x}*{2}}e^{{x}*{2}} - e^{e^{x} + e^{-x}}e^{{-x}*{3}}e^{x} - e^{{x}*{3}}e^{-x}e^{e^{x} + e^{-x}} - e^{{-x}*{3}}e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}} + 6e^{{-x}*{3}}e^{e^{x} + e^{-x}} + 6e^{{x}*{3}}e^{e^{x} + e^{-x}} + e^{{x}*{4}}e^{e^{x} + e^{-x}} + e^{-x}e^{e^{x} + e^{-x}} + e^{x}e^{e^{x} + e^{-x}} + 7e^{{x}*{2}}e^{e^{x} + e^{-x}} + 7e^{{-x}*{2}}e^{e^{x} + e^{-x}} + e^{{-x}*{4}}e^{e^{x} + e^{-x}}\\ \end{split}\end{equation} \]
\[ \begin{equation}\begin{split}[2/2]Find\ the\ 4th\ derivative\ of\ function\ e^{e^{x} - e^{-x}}\ with\ respect\ to\ x：\\\end{split}\end{equation} \]\[ \begin{equation}\begin{split}\\Solution:&\\ &\color{blue}{The\ first\ derivative\ function：}\\&\frac{d\left( e^{e^{x} - e^{-x}}\right)}{dx}\\=&e^{e^{x} - e^{-x}}(e^{x} - e^{-x}*-1)\\=&e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{-x}e^{e^{x} - e^{-x}}\\\\ &\color{blue}{The\ second\ derivative\ of\ function:} \\&\frac{d\left( e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{-x}e^{e^{x} - e^{-x}}\right)}{dx}\\=&e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}}(e^{x} - e^{-x}*-1) + e^{-x}*-e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{-x}e^{e^{x} - e^{-x}}(e^{x} - e^{-x}*-1)\\=&e^{x}e^{-x}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{-x}e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}} - e^{-x}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{{x}*{2}}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{{-x}*{2}}e^{e^{x} - e^{-x}}\\\\ &\color{blue}{The\ third\ derivative\ of\ function:} \\&\frac{d\left( e^{x}e^{-x}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{-x}e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}} - e^{-x}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{{x}*{2}}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{{-x}*{2}}e^{e^{x} - e^{-x}}\right)}{dx}\\=&e^{x}e^{-x}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{x}e^{-x}*-e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{x}e^{-x}e^{e^{x} - e^{-x}}(e^{x} - e^{-x}*-1) + e^{-x}*-e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{-x}e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{-x}e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}}(e^{x} - e^{-x}*-1) + e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}}(e^{x} - e^{-x}*-1) - e^{-x}*-e^{e^{x} - e^{-x}} - e^{-x}e^{e^{x} - e^{-x}}(e^{x} - e^{-x}*-1) + 2e^{x}e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{{x}*{2}}e^{e^{x} - e^{-x}}(e^{x} - e^{-x}*-1) + 2e^{-x}e^{-x}*-e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{{-x}*{2}}e^{e^{x} - e^{-x}}(e^{x} - e^{-x}*-1)\\=&3e^{x}e^{-x}e^{e^{x} - e^{-x}} - 3e^{-x}e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{e^{x} - e^{-x}}e^{{x}*{2}}e^{-x} + e^{e^{x} - e^{-x}}e^{x}e^{{-x}*{2}} + e^{e^{x} - e^{-x}}e^{-x}e^{{x}*{2}} + e^{e^{x} - e^{-x}}e^{{-x}*{2}}e^{x} + e^{{x}*{2}}e^{-x}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{{-x}*{2}}e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{-x}e^{e^{x} - e^{-x}} - 3e^{{-x}*{2}}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{{x}*{3}}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}} + 3e^{{x}*{2}}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{{-x}*{3}}e^{e^{x} - e^{-x}}\\\\ &\color{blue}{The\ 4th\ derivative\ of\ function:} \\&\frac{d\left( 3e^{x}e^{-x}e^{e^{x} - e^{-x}} - 3e^{-x}e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{e^{x} - e^{-x}}e^{{x}*{2}}e^{-x} + e^{e^{x} - e^{-x}}e^{x}e^{{-x}*{2}} + e^{e^{x} - e^{-x}}e^{-x}e^{{x}*{2}} + e^{e^{x} - e^{-x}}e^{{-x}*{2}}e^{x} + e^{{x}*{2}}e^{-x}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{{-x}*{2}}e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{-x}e^{e^{x} - e^{-x}} - 3e^{{-x}*{2}}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{{x}*{3}}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}} + 3e^{{x}*{2}}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{{-x}*{3}}e^{e^{x} - e^{-x}}\right)}{dx}\\=&3e^{x}e^{-x}e^{e^{x} - e^{-x}} + 3e^{x}e^{-x}*-e^{e^{x} - e^{-x}} + 3e^{x}e^{-x}e^{e^{x} - e^{-x}}(e^{x} - e^{-x}*-1) - 3e^{-x}*-e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}} - 3e^{-x}e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}} - 3e^{-x}e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}}(e^{x} - e^{-x}*-1) + e^{e^{x} - e^{-x}}(e^{x} - e^{-x}*-1)e^{{x}*{2}}e^{-x} + e^{e^{x} - e^{-x}}*2e^{x}e^{x}e^{-x} + e^{e^{x} - e^{-x}}e^{{x}*{2}}e^{-x}*-1 + e^{e^{x} - e^{-x}}(e^{x} - e^{-x}*-1)e^{x}e^{{-x}*{2}} + e^{e^{x} - e^{-x}}e^{x}e^{{-x}*{2}} + e^{e^{x} - e^{-x}}e^{x}*2e^{-x}e^{-x}*-1 + e^{e^{x} - e^{-x}}(e^{x} - e^{-x}*-1)e^{-x}e^{{x}*{2}} + e^{e^{x} - e^{-x}}e^{-x}*-e^{{x}*{2}} + e^{e^{x} - e^{-x}}e^{-x}*2e^{x}e^{x} + e^{e^{x} - e^{-x}}(e^{x} - e^{-x}*-1)e^{{-x}*{2}}e^{x} + e^{e^{x} - e^{-x}}*2e^{-x}e^{-x}*-e^{x} + e^{e^{x} - e^{-x}}e^{{-x}*{2}}e^{x} + 2e^{x}e^{x}e^{-x}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{{x}*{2}}e^{-x}*-e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{{x}*{2}}e^{-x}e^{e^{x} - e^{-x}}(e^{x} - e^{-x}*-1) + 2e^{-x}e^{-x}*-e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{{-x}*{2}}e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{{-x}*{2}}e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}}(e^{x} - e^{-x}*-1) + e^{-x}*-e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{-x}e^{e^{x} - e^{-x}}(e^{x} - e^{-x}*-1) - 3*2e^{-x}e^{-x}*-e^{e^{x} - e^{-x}} - 3e^{{-x}*{2}}e^{e^{x} - e^{-x}}(e^{x} - e^{-x}*-1) + 3e^{{x}*{2}}e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{{x}*{3}}e^{e^{x} - e^{-x}}(e^{x} - e^{-x}*-1) + e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}}(e^{x} - e^{-x}*-1) + 3*2e^{x}e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}} + 3e^{{x}*{2}}e^{e^{x} - e^{-x}}(e^{x} - e^{-x}*-1) + 3e^{{-x}*{2}}e^{-x}*-e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{{-x}*{3}}e^{e^{x} - e^{-x}}(e^{x} - e^{-x}*-1)\\=&e^{x}e^{-x}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{-x}e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}} + 5e^{e^{x} - e^{-x}}e^{{x}*{2}}e^{-x} + 3e^{e^{x} - e^{-x}}e^{x}e^{{-x}*{2}} - 3e^{e^{x} - e^{-x}}e^{-x}e^{{x}*{2}} - 5e^{e^{x} - e^{-x}}e^{{-x}*{2}}e^{x} + 2e^{{x}*{3}}e^{e^{x} - e^{-x}}e^{-x} + 2e^{{-x}*{2}}e^{e^{x} - e^{-x}}e^{{x}*{2}} + 2e^{{x}*{2}}e^{e^{x} - e^{-x}}e^{-x} + 4e^{{x}*{2}}e^{-x}e^{e^{x} - e^{-x}} + 2e^{{x}*{2}}e^{e^{x} - e^{-x}}e^{{-x}*{2}} + 2e^{{-x}*{3}}e^{e^{x} - e^{-x}}e^{x} + e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}}e^{{-x}*{2}} - e^{-x}e^{e^{x} - e^{-x}}e^{{x}*{2}} - 2e^{{-x}*{2}}e^{e^{x} - e^{-x}}e^{x} - 4e^{{-x}*{2}}e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}} - e^{-x}e^{{x}*{2}}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{e^{x} - e^{-x}}e^{{x}*{3}}e^{-x} + e^{e^{x} - e^{-x}}e^{{x}*{2}}e^{{-x}*{2}} + e^{x}e^{{-x}*{2}}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{e^{x} - e^{-x}}e^{{-x}*{2}}e^{{x}*{2}} + e^{e^{x} - e^{-x}}e^{{-x}*{3}}e^{x} + e^{{x}*{3}}e^{-x}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{{-x}*{3}}e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}} - 6e^{{-x}*{3}}e^{e^{x} - e^{-x}} + 6e^{{x}*{3}}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{{x}*{4}}e^{e^{x} - e^{-x}} - e^{-x}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{x}e^{e^{x} - e^{-x}} + 7e^{{x}*{2}}e^{e^{x} - e^{-x}} + 7e^{{-x}*{2}}e^{e^{x} - e^{-x}} + e^{{-x}*{4}}e^{e^{x} - e^{-x}}\\ \end{split}\end{equation} \]